Найти частные производные по каждой из независимых переменных. 1. z = (3x)/y - (2y)/x

Решение:

Для функции двух переменных \(z = f(x, y)\), частные производные находятся следующим образом:

• \(\frac{\partial z}{\partial x}\) (частная производная по x)
• \(\frac{\partial z}{\partial y}\) (частная производная по y)

1. \(z = \frac{3x}{y} - \frac{2y}{x}\)

Найдем частную производную по x, считая y константой:

\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{3x}{y} - \frac{2y}{x} \right) = \frac{3}{y} + \frac{2y}{x^2}\]

Найдем частную производную по y, считая x константой:

\[\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{3x}{y} - \frac{2y}{x} \right) = -\frac{3x}{y^2} - \frac{2}{x}\]

Ответ:

• \(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{3}{y} + \frac{2y}{x^2}\)
• \(\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{3x}{y^2} - \frac{2}{x}\)