4.5 Найти четвёртый член и сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если: 1) b₂ = 6, b₅ = 162; II 2) b₃ = 12, b₆ = -96; 3) b₂ = 32, b₇ = 1; II 4) b₂ = -9, b₅ = 1 27

Ответ: 1) b₄ = 54, S₅ = 242; 2) b₄ = -24, S₅ = 66; 3) b₄ = 2, S₅ = 63; 4) b₄ = 1/3, S₅ = -121/27

Пошаговое решение:

1. 1) b₂ = 6, b₅ = 162

   Используем формулу bₙ = b₁ * q^(n-1)

   b₂ = b₁ * q, b₅ = b₁ * q⁴

   Разделим b₅ на b₂: \[\frac{b_5}{b_2} = \frac{b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q} = q^3\]

   Подставляем значения: \[q^3 = \frac{162}{6} = 27\]

   Отсюда q = 3

   Теперь найдем b₁: \[b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{6}{3} = 2\]

   Найдем b₄: \[b_4 = b_1 \cdot q^3 = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54\]

   Сумма первых пяти членов: \[S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(243 - 1)}{2} = 242\]

2. 2) b₃ = 12, b₆ = -96

   Аналогично, \[\frac{b_6}{b_3} = q^3\]

   Подставляем значения: \[q^3 = \frac{-96}{12} = -8\]

   Отсюда q = -2

   Найдем b₁: \[b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{12}{(-2)^2} = \frac{12}{4} = 3\]

   Найдем b₄: \[b_4 = b_1 \cdot q^3 = 3 \cdot (-2)^3 = 3 \cdot (-8) = -24\]

   Сумма первых пяти членов: \[S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{3((-2)^5 - 1)}{-2 - 1} = \frac{3(-32 - 1)}{-3} = 33\]

3. 3) b₂ = 32, b₇ = 1

   Аналогично, \[\frac{b_7}{b_2} = q^5\]

   Подставляем значения: \[q^5 = \frac{1}{32} = \frac{1}{2^5}\]

   Отсюда q = 1/2

   Найдем b₁: \[b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{32}{\frac{1}{2}} = 32 \cdot 2 = 64\]

   Найдем b₄: \[b_4 = b_1 \cdot q^3 = 64 \cdot (\frac{1}{2})^3 = 64 \cdot \frac{1}{8} = 8\]

   Сумма первых пяти членов: \[S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{64(1 - (\frac{1}{2})^5)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{64(1 - \frac{1}{32})}{\frac{1}{2}} = 64 \cdot \frac{\frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = 64 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 = 124\]

4. 4) b₂ = -9, b₅ = 1/27

   Аналогично, \[\frac{b_5}{b_2} = q^3\]

   Подставляем значения: \[q^3 = \frac{\frac{1}{27}}{-9} = -\frac{1}{243} = -\frac{1}{3^5}\]

   Отсюда q = -1/3

   Найдем b₁: \[b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{-9}{-\frac{1}{3}} = -9 \cdot (-3) = 27\]

   Найдем b₄: \[b_4 = b_1 \cdot q^3 = 27 \cdot (-\frac{1}{3})^3 = 27 \cdot (-\frac{1}{27}) = -1\]

   Сумма первых пяти членов: \[S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{27(1 - (-\frac{1}{3})^5)}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{27(1 + \frac{1}{243})}{\frac{4}{3}} = 27 \cdot \frac{\frac{244}{243}}{\frac{4}{3}} = 27 \cdot \frac{244}{243} \cdot \frac{3}{4} = \frac{244}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{61}{9}\]

Ответ: 1) b₄ = 54, S₅ = 242; 2) b₄ = -24, S₅ = 66; 3) b₄ = 2, S₅ = 63; 4) b₄ = 1/3, S₅ = -121/27