Найти числовое значение выражения, предварительно упростив его: \(\frac{3}{8}m^3n^2 \cdot \left(-\frac{2}{3}mn\right)^3 \) при \( m = \frac{3}{2}, n = 2 \)

Решение:

1. Сначала упростим выражение:
   \( \frac{3}{8}m^3n^2 \cdot \left(-\frac{2}{3}mn\right)^3 = \frac{3}{8}m^3n^2 \cdot \left(-\frac{2^3}{3^3}m^3n^3\right) = \frac{3}{8}m^3n^2 \cdot \left(-\frac{8}{27}m^3n^3\right) \)
2. Теперь перемножим полученные выражения:
   \( \left(\frac{3}{8} \cdot -\frac{8}{27}\right) \cdot (m^3 \cdot m^3) \cdot (n^2 \cdot n^3) = \left(-\frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 27}\right) \cdot m^{3+3} \cdot n^{2+3} = \left(-\frac{3}{27}\right) \cdot m^6 \cdot n^5 = -\frac{1}{9}m^6n^5 \)
3. Теперь подставим значения \( m = \frac{3}{2} \) и \( n = 2 \):
   \( -\frac{1}{9} \left(\frac{3}{2}\right)^6 (2)^5 = -\frac{1}{9} \cdot \frac{3^6}{2^6} \cdot 2^5 = -\frac{1}{9} \cdot \frac{729}{64} \cdot 32 = -\frac{729 \cdot 32}{9 \cdot 64} \)
4. Сократим дроби:
   \( -\frac{729}{9} \cdot \frac{32}{64} = -81 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{81}{2} \)

Ответ: -\(\frac{81}{2}\).