Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известна его площадь и острый угол.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $$a$$ и $$b$$, а гипотенузу как $$c$$. Площадь треугольника равна $$S = \frac{1}{2}ab$$. Пусть дан острый угол $$\alpha$$, лежащий напротив катета $$a$$. Тогда $$a = b \cdot tg(\alpha)$$. Площадь $$S = \frac{1}{2} b^2 tg(\alpha)$$. Отсюда $$b^2 = \frac{2S}{tg(\alpha)}$$, следовательно, $$b = \sqrt{\frac{2S}{tg(\alpha)}}$$. Тогда $$a = \sqrt{\frac{2S}{tg(\alpha)}} \cdot tg(\alpha) = \sqrt{2S \cdot tg(\alpha)}$$. По теореме Пифагора $$c^2 = a^2 + b^2 = 2S \cdot tg(\alpha) + \frac{2S}{tg(\alpha)} = 2S (tg(\alpha) + \frac{1}{tg(\alpha)}) = 2S \cdot \frac{tg^2(\alpha) + 1}{tg(\alpha)} = \frac{2S}{tg(\alpha) \cdot cos^2(\alpha)}$$. Тогда $$c = \sqrt{\frac{2S}{tg(\alpha) \cdot cos^2(\alpha)}} = \sqrt{\frac{2S}{\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} \cdot cos^2(\alpha)}} = \sqrt{\frac{2S}{sin(\alpha)cos(\alpha)}} = \sqrt{\frac{4S}{2sin(\alpha)cos(\alpha)}} = \sqrt{\frac{4S}{sin(2\alpha)}} = 2\sqrt{\frac{S}{sin(2\alpha)}}$$. В задаче у нас есть два прямоугольных треугольника. Для первого треугольника площадь $$S_1 = 64\sqrt{3}$$, а один из острых углов равен 60 градусам, т.к. напротив катета $$a$$ лежит угол в 60 градусов. $$sin(2 \cdot 60^\circ) = sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Подставляем в формулу: $$c_1 = 2\sqrt{\frac{64\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}} = 2\sqrt{64 \cdot 2} = 2\sqrt{128} = 2\sqrt{64 \cdot 2} = 2 \cdot 8 \sqrt{2} = 16\sqrt{2}$$. Для второго треугольника площадь $$S_2 = 128\sqrt{3}$$, а один из острых углов также равен 60 градусам. $$sin(2 \cdot 60^\circ) = sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Подставляем в формулу: $$c_2 = 2\sqrt{\frac{128\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}} = 2\sqrt{128 \cdot 2} = 2\sqrt{256} = 2 \cdot 16 = 32$$. Ответ: Для первого треугольника гипотенуза равна $$16\sqrt{2}$$, для второго – 32.