Найти градусную меру угла ABC. (Изображение с окружностями и углами)

Решение для каждого изображения: 1. Первый круг: Угол $$AOC$$ - центральный, и он равен $$120^{\circ}$$. Вписанный угол $$ABC$$ опирается на ту же дугу, что и центральный угол $$AOC$$. Следовательно, градусная мера угла $$ABC$$ равна половине градусной меры центрального угла $$AOC$$. $$ABC = \frac{1}{2} \cdot AOC = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ}$$ Ответ: $$60^{\circ}$$ 2. Второй круг: В данном случае, необходимо увидеть, какие элементы даны. Если предположить, что $$AO = OC$$, то треугольник $$AOC$$ равнобедренный. Не хватает данных для определения угла $$ABC$$, поэтому считаем что данных для решение недостаточно. 3. Третий круг: Угол $$ADC$$ является центральным и равен $$40^{\circ}$$. Вписанный угол $$ABC$$ опирается на ту же дугу, что и центральный угол $$ADC$$. Следовательно, градусная мера угла $$ABC$$ равна половине градусной меры центрального угла $$ADC$$. $$ABC = \frac{1}{2} \cdot ADC = \frac{1}{2} \cdot 40^{\circ} = 20^{\circ}$$ Ответ: $$20^{\circ}$$ 4. Четвертый круг: Угол $$AOD$$ - центральный и равен $$50^{\circ}$$. Угол $$ACD$$ вписанный и опирается на ту же дугу, что и центральный угол $$AOD$$. Поэтому, $$\angle ACD = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{1}{2} \cdot 50^{\circ} = 25^{\circ}$$. Необходимо найти $$\angle ABC$$. Так как четырехугольник $$ABCD$$ вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна $$180^{\circ}$$. Значит, $$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$$. Угол $$ADC$$ состоит из углов $$ADO$$ и $$ODC$$. Угол $$ODC$$ опирается на центральный угол $$AOD$$, поэтому $$\angle ODC = \frac{1}{2} (360^{\circ} - 50^{\circ}) = \frac{1}{2} (310^{\circ}) = 155^{\circ}$$. Тогда $$\angle ABC = 180^{\circ} - 25^{\circ} = 155^{\circ}$$. Но это решение неверно, надо найти угол $$ABC$$ который опирается на дугу $$AC$$. Угол $$ADC$$ равен половине центрального угла $$AOC$$ (который равен $$50^{\circ}$$). Значит, угол $$ADC$$ равен $$25^{\circ}$$. Так как $$ABCD$$ - вписанный четырехугольник, то $$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$$. Отсюда $$\angle ABC = 180^{\circ} - 25^{\circ} = 155^{\circ}$$. Ответ: $$155^{\circ}$$ 5. Пятый круг: Так как $$AO = BO$$, то $$\triangle AOB$$ - равнобедренный. Значит, $$\angle OAB = \angle OBA = 45^{\circ}$$. Угол $$AOB$$ - прямой, значит $$\angle AOB = 90^{\circ}$$. Тогда угол $$ACB$$ равен половине угла $$AOB$$, так как опирается на ту же дугу. $$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 90^{\circ} = 45^{\circ}$$. 6. Шестой круг: Угол $$ADB$$ равен $$30^{\circ}$$. Этот угол вписанный и опирается на дугу $$AB$$. Значит, центральный угол $$AOB$$ равен $$2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$$. Так как $$\triangle COB$$ - равнобедренный, то углы при основании равны. Угол $$OBC = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$$. Значит, $$\triangle COB$$ - равносторонний. Угол $$ABC$$ равен $$90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$. 7. Седьмой круг: Дано $$\angle ADE = 70^{\circ}$$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, $$\angle ACE = \angle ADE = 70^{\circ}$$. Угол $$ABC$$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $$AC$$. $$\angle ABC = \angle ACE = 70^{\circ}$$. Ответ: $$70^{\circ}$$