Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-4, 3]: $$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 2x$$

Для решения этой задачи, нам нужно найти производную функции, определить критические точки и проверить значения функции в этих точках и на концах отрезка. 1. Находим производную функции $$f(x)$$. $$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 2x)' = 6x^2 + 6x - 2$$ 2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки: $$6x^2 + 6x - 2 = 0$$ Разделим уравнение на 2 для упрощения: $$3x^2 + 3x - 1 = 0$$ Используем квадратное уравнение для нахождения корней: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ , где a = 3, b = 3, c = -1 $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{6}$$ Таким образом, мы имеем две критические точки: $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{21}}{6} \approx 0.2645$$ $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{21}}{6} \approx -1.2645$$ 3. Проверяем, принадлежат ли критические точки отрезку [-4, 3]. Обе точки ($$x_1$$ и $$x_2$$) принадлежат отрезку [-4, 3]. 4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка: $$f(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 2(-4) = 2(-64) + 3(16) + 8 = -128 + 48 + 8 = -72$$ $$f(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 2(3) = 2(27) + 3(9) - 6 = 54 + 27 - 6 = 75$$ $$f(x_1) = f(\frac{-3 + \sqrt{21}}{6}) \approx f(0.2645) = 2(0.2645)^3 + 3(0.2645)^2 - 2(0.2645) \approx -0.2837$$ $$f(x_2) = f(\frac{-3 - \sqrt{21}}{6}) \approx f(-1.2645) = 2(-1.2645)^3 + 3(-1.2645)^2 - 2(-1.2645) \approx 4.2837$$ 5. Сравниваем полученные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Наибольшее значение: 75 (при x = 3) Наименьшее значение: -72 (при x = -4) Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [-4, 3] равно 75, наименьшее значение равно -72.