Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Найти наименьший положительный корень уравнения $$4 \sin 3x \cdot \sin x + 2 \cos 2x + 1 = 0$$
Ответ:
Для решения данного уравнения необходимо использовать тригонометрические формулы. В частности, формулу произведения синусов и формулу косинуса двойного угла.
Начнем с преобразования произведения синусов:
$$4 \sin 3x \sin x = 2( \cos(3x - x) - \cos(3x + x) ) = 2(\cos 2x - \cos 4x)$$Теперь подставим это в исходное уравнение:
$$2(\cos 2x - \cos 4x) + 2 \cos 2x + 1 = 0$$
$$4 \cos 2x - 2 \cos 4x + 1 = 0$$
Теперь выразим cos 4x через cos 2x, используя формулу двойного угла:
$$\cos 4x = 2 \cos^2 2x - 1$$
Подставим это в уравнение:
$$4 \cos 2x - 2(2 \cos^2 2x - 1) + 1 = 0$$
$$4 \cos 2x - 4 \cos^2 2x + 2 + 1 = 0$$
$$-4 \cos^2 2x + 4 \cos 2x + 3 = 0$$
Умножим на -1:
$$4 \cos^2 2x - 4 \cos 2x - 3 = 0$$
Сделаем замену $$y = \cos 2x$$, тогда уравнение примет вид:
$$4y^2 - 4y - 3 = 0$$
Решим это квадратное уравнение относительно y. Для начала найдем дискриминант:
$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$$
Теперь найдем корни:
$$y_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$
$$y_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$$
Так как $$y = \cos 2x$$, то $$y_1 = \frac{3}{2}$$ не подходит, потому что $$|\cos 2x| \le 1$$.
Значит, $$y = \cos 2x = -\frac{1}{2}$$.
Теперь решим уравнение $$\cos 2x = -\frac{1}{2}$$.
Общее решение этого уравнения:
$$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$
$$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$
Теперь найдем наименьший положительный корень.
Если взять $$k = 0$$ и положительный знак, то $$x = \frac{\pi}{3}$$.
Если взять $$k = 0$$ и отрицательный знак, то $$x = -\frac{\pi}{3}$$, что не является положительным.
Если взять $$k = 1$$ и отрицательный знак, то $$x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$$.
Таким образом, наименьший положительный корень уравнения:
$$x = \frac{\pi}{3}$$
Ответ: d. $$\frac{\pi}{3}$$
