Найти первообразную функции, график которой проходит через точку M: a) $$y = 1 + 3x^2$$, M(2; 9) б) $$y = \sqrt{2}\cos x$$, M($$\frac{\pi}{4}$$; 1)

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами найдем первообразные функций, графики которых проходят через заданные точки. **a) $$y = 1 + 3x^2$$, M(2; 9)** Чтобы найти первообразную функции $$y = 1 + 3x^2$$, нужно проинтегрировать эту функцию: $$\int (1 + 3x^2) dx = \int 1 dx + 3 \int x^2 dx = x + 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x + x^3 + C$$ Таким образом, первообразная функции имеет вид: $$F(x) = x + x^3 + C$$ Теперь нам нужно найти значение константы C, используя заданную точку M(2; 9). Подставим координаты точки в уравнение: $$9 = 2 + 2^3 + C$$ $$9 = 2 + 8 + C$$ $$9 = 10 + C$$ $$C = 9 - 10$$ $$C = -1$$ Итак, окончательная формула первообразной функции: $$F(x) = x + x^3 - 1$$ **б) $$y = \sqrt{2}\cos x$$, M($$\frac{\pi}{4}$$; 1)** Найдем первообразную функции $$y = \sqrt{2}\cos x$$, проинтегрировав ее: $$\int \sqrt{2}\cos x dx = \sqrt{2} \int \cos x dx = \sqrt{2} \sin x + C$$ Таким образом, первообразная функции имеет вид: $$F(x) = \sqrt{2}\sin x + C$$ Теперь найдем значение константы C, используя заданную точку M($$\frac{\pi}{4}$$; 1). Подставим координаты точки в уравнение: $$1 = \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4} + C$$ Мы знаем, что $$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, следовательно: $$1 = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + C$$ $$1 = \frac{2}{2} + C$$ $$1 = 1 + C$$ $$C = 1 - 1$$ $$C = 0$$ Итак, окончательная формула первообразной функции: $$F(x) = \sqrt{2}\sin x$$ **Ответы:** a) $$F(x) = x + x^3 - 1$$ б) $$F(x) = \sqrt{2}\sin x$$