625*. Найти первообразную функции y=2 sin 5x+3 cos(x/2), которая при х=π/3 принимает значение, равное 0.

Для решения этой задачи нам нужно найти первообразную функции $$y = 2 \sin 5x + 3 \cos \frac{x}{2}$$ и затем использовать заданное условие, чтобы найти константу интегрирования. 1. Находим первообразную: Первообразная для $$2 \sin 5x$$ равна $$- \frac{2}{5} \cos 5x$$, так как производная $$- \frac{2}{5} \cos 5x$$ равна $$2 \sin 5x$$. Первообразная для $$3 \cos \frac{x}{2}$$ равна $$6 \sin \frac{x}{2}$$, так как производная $$6 \sin \frac{x}{2}$$ равна $$3 \cos \frac{x}{2}$$. Таким образом, первообразная функция $$F(x)$$ имеет вид: $$F(x) = - \frac{2}{5} \cos 5x + 6 \sin \frac{x}{2} + C$$ где $$C$$ - константа интегрирования. 2. Используем условие: Нам дано, что при $$x = \frac{\pi}{3}$$ функция $$F(x) = 0$$. Подставим эти значения в уравнение: $$0 = - \frac{2}{5} \cos \left(5 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + 6 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) + C$$ Упростим выражение: $$0 = - \frac{2}{5} \cos \left(\frac{5\pi}{3}\right) + 6 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) + C$$ $$0 = - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} + C$$ $$0 = - \frac{1}{5} + 3 + C$$ $$C = \frac{1}{5} - 3$$ $$C = \frac{1}{5} - \frac{15}{5} = - \frac{14}{5}$$ 3. Записываем окончательное уравнение: Теперь мы знаем значение $$C$$, поэтому можем записать окончательное уравнение для первообразной: $$F(x) = - \frac{2}{5} \cos 5x + 6 \sin \frac{x}{2} - \frac{14}{5}$$ Ответ: $$F(x) = -\frac{2}{5} \cos 5x + 6 \sin \frac{x}{2} - \frac{14}{5}$$