Найти первообразную функции: a) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - \cos(3x-1)$ б) $f(x) = \frac{3}{\cos^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})}$ в) $f(x) = 4\sin 2x - \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} + 1$

a) Чтобы найти первообразную функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - \cos(3x-1)$, нужно найти интеграл от этой функции. $\int f(x) dx = \int (\frac{1}{\cos^2 x} - \cos(3x-1)) dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx - \int \cos(3x-1) dx$ Первообразная для $\frac{1}{\cos^2 x}$ это $\tan x$. Для $\int \cos(3x-1) dx$ сделаем замену $u = 3x-1$, тогда $du = 3 dx$, и $dx = \frac{1}{3} du$. $\int \cos(u) \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \cos(u) du = \frac{1}{3} \sin(u) + C = \frac{1}{3} \sin(3x-1) + C$ Итак, первообразная равна: $F(x) = \tan x - \frac{1}{3} \sin(3x-1) + C$ б) Чтобы найти первообразную функции $f(x) = \frac{3}{\cos^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})}$, нужно найти интеграл от этой функции. $\int f(x) dx = \int \frac{3}{\cos^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})} dx$ Сделаем замену $u = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}$, тогда $du = \frac{1}{2} dx$, и $dx = 2 du$. $\int \frac{3}{\cos^2(u)} 2 du = 6 \int \frac{1}{\cos^2(u)} du = 6 \tan(u) + C = 6 \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}) + C$ Итак, первообразная равна: $F(x) = 6 \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}) + C$ в) Чтобы найти первообразную функции $f(x) = 4\sin 2x - \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} + 1$, нужно найти интеграл от этой функции. $\int f(x) dx = \int (4\sin 2x - \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} + 1) dx = 4\int \sin 2x dx - \frac{1}{2} \int \cos \frac{x}{2} dx + \int 1 dx$ $\int \sin 2x dx$: сделаем замену $u = 2x$, тогда $du = 2 dx$, и $dx = \frac{1}{2} du$. $\int \sin u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sin u du = \frac{1}{2} (-\cos u) + C = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$ $\int \cos \frac{x}{2} dx$: сделаем замену $v = \frac{x}{2}$, тогда $dv = \frac{1}{2} dx$, и $dx = 2 dv$. $\int \cos v 2 dv = 2 \int \cos v dv = 2 \sin v + C = 2 \sin \frac{x}{2} + C$ $\int 1 dx = x + C$ Итак, первообразная равна: $F(x) = 4(-\frac{1}{2} \cos 2x) - \frac{1}{2} (2 \sin \frac{x}{2}) + x + C = -2 \cos 2x - \sin \frac{x}{2} + x + C$ **Ответ:** a) $F(x) = \tan x - \frac{1}{3} \sin(3x-1) + C$ б) $F(x) = 6 \tan(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}) + C$ в) $F(x) = -2 \cos 2x - \sin \frac{x}{2} + x + C$