7. Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен 4, а высота равна 6.

Пошаговое решение:

• Радиус основания цилиндра равен 4. Так как в основании призмы лежит правильный треугольник, сторона этого треугольника может быть найдена через радиус описанной окружности.
• Формула связи стороны правильного треугольника (a) и радиуса описанной окружности (R): \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \)
• Выразим сторону a через радиус R: \( a = R \sqrt{3} \)
• Подставим значение радиуса: \( a = 4 \sqrt{3} \)
• Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту.
• Периметр основания: \( P = 3a = 3 \cdot 4 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3} \)
• Высота призмы равна 6.
• Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = P \cdot h = 12 \sqrt{3} \cdot 6 = 72 \sqrt{3} \)

Ответ: \( 72 \sqrt{3} \)