Найти площадь фигуры, ограниченной синусоидой $$y = \sin(2x)$$ и прямыми $$y = 0$$, $$x = 0$$, $$x = 2\pi$$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной синусоидой $$y = \sin(2x)$$ и прямыми $$y = 0$$, $$x = 0$$, $$x = 2\pi$$, нужно вычислить интеграл от функции $$y = \sin(2x)$$ в пределах от 0 до $$2\pi$$. Однако, так как функция синуса принимает как положительные, так и отрицательные значения на этом интервале, нам нужно рассмотреть интегралы на участках, где функция положительна и отрицательна, и взять абсолютные значения этих интегралов, чтобы получить общую площадь. 1. Находим нули функции $$y = \sin(2x)$$ на интервале $$[0, 2\pi]$$. $$ \sin(2x) = 0 $$ $$ 2x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{k\pi}{2} $$ На интервале $$[0, 2\pi]$$ получаем следующие значения $$x$$: 0, $$\frac{\pi}{2}$$, $$\pi$$, $$\frac{3\pi}{2}$$, $$2\pi$$. 2. Вычисляем интегралы на каждом из подинтервалов и берем их абсолютные значения: * Интервал $$[0, \frac{\pi}{2}]$$: $$ S_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x) , dx = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2}(\cos(\pi) - \cos(0)) = -\frac{1}{2}(-1 - 1) = 1 $$ * Интервал $$[\frac{\pi}{2}, \pi]$$: $$ S_2 = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin(2x) , dx = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\frac{1}{2}(\cos(2\pi) - \cos(\pi)) = -\frac{1}{2}(1 - (-1)) = -1 $$ Берем абсолютное значение: $$|S_2| = 1$$ * Интервал $$[\pi, \frac{3\pi}{2}]$$: $$ S_3 = \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \sin(2x) , dx = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} = -\frac{1}{2}(\cos(3\pi) - \cos(2\pi)) = -\frac{1}{2}(-1 - 1) = 1 $$ * Интервал $$[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$$: $$ S_4 = \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \sin(2x) , dx = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} = -\frac{1}{2}(\cos(4\pi) - \cos(3\pi)) = -\frac{1}{2}(1 - (-1)) = -1 $$ Берем абсолютное значение: $$|S_4| = 1$$ 3. Суммируем абсолютные значения интегралов: $$ S = |S_1| + |S_2| + |S_3| + |S_4| = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 $$ Ответ: 4