Найти площадь криволинейной трапеции (х-1)², ограниченной линиями х=2 и х=1, осью Ох. Выполните чертеж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью Ox и прямыми \( x=a \) и \( x=b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \]

В данном случае \( f(x) = (x-1)^2 \), \( a=1 \) и \( b=2 \). Функция \( (x-1)^2 \) неотрицательна на интервале \( [1, 2] \).

\[ S = \int_{1}^{2} (x-1)^2 dx \]

Для вычисления интеграла сделаем замену \( u = x-1 \), тогда \( du = dx \). При \( x=1 \) \( u=0 \), при \( x=2 \) \( u=1 \).

\[ S = \int_{0}^{1} u^2 du \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]

Для чертежа:

График функции \( y = (x-1)^2 \) — парабола с вершиной в точке (1, 0), ветви направлены вверх. На интервале \( [1, 2] \) функция возрастает.

Ответ: 1/3 квадратных метра.