Вычислите площадь земли, отведенного под участок, периметр которого ограничивают линии y=x²-2x-2 и y=-x²+2. Выполните чертеж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя параболами, сначала найдем точки их пересечения. Приравняем уравнения:

\( x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \)

\( 2x^2 - 2x - 4 = 0 \)

\( x^2 - x - 2 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Таким образом, точки пересечения имеют абсциссы \( x_1 = \frac{1-3}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{1+3}{2} = 2 \).

Площадь фигуры находится как интеграл разности верхнего и нижнего графиков между точками пересечения:

\( S = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2)) dx \)

\( S = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx \)

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2} \]

\[ S = \left( -\frac{2}{3}(2)^3 + (2)^2 + 4(2) \right) - \left( -\frac{2}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 4(-1) \right) \]

\[ S = \left( -\frac{16}{3} + 4 + 8 \right) - \left( \frac{2}{3} + 1 - 4 \right) \]

\[ S = \left( -\frac{16}{3} + 12 \right) - \left( \frac{2}{3} - 3 \right) \]

\[ S = \frac{-16 + 36}{3} - \frac{2 - 9}{3} = \frac{20}{3} - \frac{-7}{3} = \frac{20 + 7}{3} = \frac{27}{3} = 9 \]

Для чертежа:

Первая парабола \( y = x^2 - 2x - 2 \) имеет вершину в точке \( x = -\frac{-2}{2(1)} = 1 \), \( y = 1^2 - 2(1) - 2 = -3 \). Вершина (1, -3). Ветви вверх.

Вторая парабола \( y = -x^2 + 2 \) имеет вершину в точке (0, 2). Ветви вниз.

Ответ: 9 квадратных метров.