Найти площадь основания правильной четырёхугольной призмы по диагонали и углу между диагональю и боковой гранью.

Для нахождения площади основания правильной четырёхугольной призмы необходимо воспользоваться следующим: Диагональ основания правильной четырёхугольной призмы можно выразить через её сторону как \(d = a\sqrt{2}\), где \(a\) — сторона квадрата. Поскольку диагональ основания \(d\) образует угол \(30^{\circ}\) с боковой гранью, можно использовать тригонометрические свойства: \[\tan(30^{\circ}) = \frac{a\sqrt{2}}{6},\] где \(6\) — длина диагонали призмы. Отсюда: \[a\sqrt{2} = 6 \cdot \tan(30^{\circ}).\] \[a = \frac{6 \cdot \tan(30^{\circ})}{\sqrt{2}}.\] Подставив численные значения, найдём \(a\), затем площадь основания \(S = a^2\).