Решение задач на нахождение площадей заштрихованных фигур

Задача 1 (Рис. 258)

Дано: R₁ = 10, R₂ = 8. Найти площадь заштрихованной фигуры.

Решение: Заштрихованная фигура представляет собой кольцо между двумя окружностями. Площадь кольца равна разности площадей большего и меньшего кругов.

Площадь большего круга: $$S_1 = \pi R_1^2 = \pi (10)^2 = 100\pi$$

Площадь меньшего круга: $$S_2 = \pi R_2^2 = \pi (8)^2 = 64\pi$$

Площадь заштрихованной фигуры: $$S = S_1 - S_2 = 100\pi - 64\pi = 36\pi$$

Ответ: Площадь заштрихованной фигуры равна $$36\pi$$

Задача 2 (Рис. 259)

Дано: R₁ = 15, R₂ = 6, R₃ = 7. Найти площадь заштрихованной фигуры.

Решение: Заштрихованная фигура представляет собой круг радиуса R₁, из которого вырезаны два круга радиусов R₂ и R₃.

Площадь круга радиуса R₁: $$S_1 = \pi R_1^2 = \pi (15)^2 = 225\pi$$

Площадь круга радиуса R₂: $$S_2 = \pi R_2^2 = \pi (6)^2 = 36\pi$$

Площадь круга радиуса R₃: $$S_3 = \pi R_3^2 = \pi (7)^2 = 49\pi$$

Площадь заштрихованной фигуры: $$S = S_1 - S_2 - S_3 = 225\pi - 36\pi - 49\pi = 140\pi$$

Ответ: Площадь заштрихованной фигуры равна $$140\pi$$

Задача 3 (Рис. 260)

Дано: R = 5, угол = 150°. Найти площадь заштрихованной фигуры.

Решение: Заштрихованная фигура представляет собой сектор круга. Площадь сектора можно найти, зная радиус круга и угол сектора в градусах.

Площадь сектора: $$S = \frac{\alpha}{360} \pi R^2$$, где α - угол сектора в градусах.

В нашем случае: $$S = \frac{150}{360} \pi (5)^2 = \frac{150}{360} \pi 25 = \frac{5}{12} \cdot 25\pi = \frac{125}{12} \pi$$

Ответ: Площадь заштрихованной фигуры равна $$\frac{125}{12} \pi$$