4. Найти производные следующих функций: a) y = x√1-x²; б) y = x⁴-81 / x-3

Решение:

a) Найдем производную функции:

\[y = x\sqrt{1-x^2}\] \[y' = (x)'\sqrt{1-x^2} + x(\sqrt{1-x^2})'\] \[y' = 1\cdot\sqrt{1-x^2} + x\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x)\] \[y' = \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-x^2 - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\]

б) Найдем производную функции:

\[y = \frac{x^4 - 81}{x - 3}\]

Заметим, что \(x^4 - 81 = (x^2 - 9)(x^2 + 9) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)\), тогда:

\[y = \frac{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)}{x - 3} = (x + 3)(x^2 + 9) = x^3 + 3x^2 + 9x + 27\] \[y' = 3x^2 + 6x + 9\]

Ответ: a) y' = (1-2x²)/√(1-x²); б) y' = 3x² + 6x + 9

Превосходно! Ты уверенно находишь производные. Так держать!