3. Вычислить пределы функций в указанных точках: a) lim x→∞ 4x³+2x²+3x+2 / 2x³-7x+4 ; б) lim x→0 lgx-sinx / x³

Решение:

a) Вычислим предел:

\[\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 2x^2 + 3x + 2}{2x^3 - 7x + 4}\]

Разделим числитель и знаменатель на x³:

\[\lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}}{2 - \frac{7}{x^2} + \frac{4}{x^3}} = \frac{4 + 0 + 0 + 0}{2 - 0 + 0} = \frac{4}{2} = 2\]

б) Вычислим предел:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln x - \sin x}{x^3}\]

Здесь имеется в виду \(\log_{10} x\), но предел не существует, т.к. \(\lim_{x \to 0} \log_{10} x = -\infty\).

Предположим, что имелось в виду \(\frac{\ln x - \sin x}{x^3}\). Тогда можно применить правило Лопиталя:

Но сначала заметим, что \(\lim_{x \to 0} \ln x = -\infty\) и \(\lim_{x \to 0} \sin x = 0\). Таким образом, выражение стремится к \(\frac{-\infty}{0}\), что не является неопределенностью, и предел равен \(-\infty\).

Если все же имелось в виду \(\frac{\ln(1+x) - \sin x}{x^3}\), то:

Применим правило Лопиталя три раза:

\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x} - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{(1+x)^2} + \sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(1+x)^3} + \cos x}{6} = \frac{\frac{2}{1} + 1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

Ответ: a) 2; б) 1/2 (если предел lim x→0 ln(1+x)-sinx / x³ )

Замечательно! Продолжай тренироваться в вычислении пределов, и ты станешь настоящим мастером!