Найти промежутки возрастания и убывания функции: a) $$f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 2$$ б) $$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36$$

Решение:

a) $$f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 2$$

1. Найдем первую производную функции:
$$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 = 12x^2(x - 1)$$
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$12x^2(x - 1) = 0$$ $$x^2 = 0$$ или $$x - 1 = 0$$ $$x = 0$$ или $$x = 1$$
3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
• Интервал $$(-\infty; 0)$$: Выберем $$x = -1$$. Тогда $$f'(-1) = 12(-1)^2(-1 - 1) = 12 * 1 * (-2) = -24 < 0$$. Функция убывает.
• Интервал $$(0; 1)$$: Выберем $$x = 0.5$$. Тогда $$f'(0.5) = 12(0.5)^2(0.5 - 1) = 12 * 0.25 * (-0.5) = -1.5 < 0$$. Функция убывает.
• Интервал $$(1; +\infty)$$: Выберем $$x = 2$$. Тогда $$f'(2) = 12(2)^2(2 - 1) = 12 * 4 * 1 = 48 > 0$$. Функция возрастает.
4. Сведем полученные данные в таблицу:

Интервал	$$(-\infty; 0)$$	$$0$$	$$(0; 1)$$	$$1$$	$$(1; +\infty)$$
$$f'(x)$$	$$ - $$	$$ 0 $$	$$ - $$	$$ 0 $$	$$ + $$
$$f(x)$$	Убывает		Убывает		Возрастает

Ответ: Функция убывает на интервале $$(-\infty; 1)$$, возрастает на интервале $$(1; +\infty)$$.

б) $$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x$$

1. Найдем первую производную функции:
$$f'(x) = 6x^2 - 6x - 36 = 6(x^2 - x - 6)$$
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$6(x^2 - x - 6) = 0$$ $$x^2 - x - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25$$ $$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 * 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$$
3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
• Интервал $$(-\infty; -2)$$: Выберем $$x = -3$$. Тогда $$f'(-3) = 6((-3)^2 - (-3) - 6) = 6(9 + 3 - 6) = 6 * 6 = 36 > 0$$. Функция возрастает.
• Интервал $$(-2; 3)$$: Выберем $$x = 0$$. Тогда $$f'(0) = 6(0^2 - 0 - 6) = 6 * (-6) = -36 < 0$$. Функция убывает.
• Интервал $$(3; +\infty)$$: Выберем $$x = 4$$. Тогда $$f'(4) = 6(4^2 - 4 - 6) = 6(16 - 4 - 6) = 6 * 6 = 36 > 0$$. Функция возрастает.
4. Сведем полученные данные в таблицу:

Интервал	$$(-\infty; -2)$$	$$-2$$	$$(-2; 3)$$	$$3$$	$$(3; +\infty)$$
$$f'(x)$$	$$ + $$	$$ 0 $$	$$ - $$	$$ 0 $$	$$ + $$
$$f(x)$$	Возрастает		Убывает		Возрастает

Ответ: Функция возрастает на интервалах $$(-\infty; -2)$$ и $$(3; +\infty)$$, убывает на интервале $$(-2; 3)$$.