Найти скалярное произведение векторов $$\vec{BA}$$ и $$\vec{BC}$$, если $$|BC| = 4$$, $$\angle A = 67.5^{\circ}$$.

Для нахождения скалярного произведения векторов $$\vec{BA}$$ и $$\vec{BC}$$, нам нужно знать длины этих векторов и угол между ними. Длину вектора $$\vec{BC}$$ нам дали: $$|BC| = 4$$. Угол между векторами $$\vec{BA}$$ и $$\vec{BC}$$ обозначим как $$\theta$$.

Заметим, что $$\angle A$$ не является углом между векторами $$\vec{BA}$$ и $$\vec{BC}$$. Угол $$\theta$$ - это угол между направлениями векторов $$\vec{BA}$$ и $$\vec{BC}$$. Исходя из рисунка, можно сказать, что $$\angle A + \theta = 180^{\circ}$$. Таким образом, $$\theta = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 67.5^{\circ} = 112.5^{\circ}$$.

Теперь нам нужно найти длину вектора $$\vec{BA}$$, то есть длину стороны $$AB$$ треугольника $$ABC$$. К сожалению, у нас недостаточно данных, чтобы точно определить длину $$AB$$. В задаче не хватает информации, например, длины стороны $$AC$$ или угла $$C$$, чтобы мы могли использовать теорему синусов или косинусов.

Предположим, что треугольник $$ABC$$ - равнобедренный, и $$AC = BC = 4$$. Тогда мы можем найти $$AB$$ по теореме косинусов:

$$ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 cdot AC cdot BC cdot \cos(\angle C) $$

Так как $$AC = BC$$, то углы при основании $$AB$$ равны, то есть $$\angle A = \angle B = 67.5^{\circ}$$. Тогда $$\angle C = 180^{\circ} - 67.5^{\circ} - 67.5^{\circ} = 45^{\circ}$$.

Теперь мы можем найти $$AB$$:

$$ AB^2 = 4^2 + 4^2 - 2 cdot 4 cdot 4 cdot \cos(45^{\circ}) = 16 + 16 - 32 cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 32 - 16\sqrt{2} $$ $$ AB = \sqrt{32 - 16\sqrt{2}} = 4\sqrt{2 - \sqrt{2}} $$

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов $$\vec{BA}$$ и $$\vec{BC}$$:

$$ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = |BA| cdot |BC| cdot \cos(\theta) = 4\sqrt{2 - \sqrt{2}} cdot 4 cdot \cos(112.5^{\circ}) $$

Так как $$\cos(112.5^{\circ}) = -\cos(67.5^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$$, то

$$ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = 16\sqrt{2 - \sqrt{2}} cdot \left(-\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\right) = -8(2 - \sqrt{2}) = -16 + 8\sqrt{2} $$

Ответ: $$-16 + 8\sqrt{2}$$, если треугольник равнобедренный с $$AC = BC = 4$$.

В общем случае, без дополнительной информации о длине стороны $$AC$$ или угла $$\angle C$$, нельзя точно определить скалярное произведение.