Решение

Для решения данной задачи нам понадобятся теорема синусов и формула площади треугольника. Обозначим сторону AC как b, сторону AB как c, и сторону BC как a.

1. Находим угол B:

   Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит:

   $$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 75° - 60° = 45°$$

2. Находим сторону x (AB):

   По теореме синусов:

   $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

   Нам известно: b = 12, ∠B = 45°, ∠C = 60°. Нужно найти c (x).

   $$\frac{12}{\sin 45°} = \frac{x}{\sin 60°}$$ $$x = \frac{12 \cdot \sin 60°}{\sin 45°} = \frac{12 \cdot (\sqrt{3}/2)}{(\sqrt{2}/2)} = \frac{12 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{12 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{6}$$

3. Находим площадь треугольника:

   Площадь треугольника можно найти по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A$$

   Где b и c - стороны треугольника, а A - угол между ними.

   У нас есть b = 12, c = x = 6√6, ∠A = 75°

   Следовательно:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \sin 75°$$

   Чтобы найти sin 75°, воспользуемся формулой синуса суммы углов: sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

   Тогда sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = (√2/2) * (√3/2) + (√2/2) * (1/2) = (√6 + √2) / 4

   Подставляем это значение в формулу площади:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 6 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 36\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 9\sqrt{6}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 9(6 + \sqrt{12}) = 9(6 + 2\sqrt{3}) = 54 + 18\sqrt{3}$$

Ответ:

• Сторона x (AB) равна $$6\sqrt{6}$$.
• Площадь треугольника равна $$54 + 18\sqrt{3}$$.