57. Найти точки перегиба кривых: 1) f(x)=6x2-x³; 2) f(x)=x+3x5 -2.

Ответ: 1) точка перегиба x=2; 2) точка перегиба x=0

1. 1) f(x) = 6x² - x³
• Находим первую производную: f'(x) = 12x - 3x²
• Находим вторую производную: f''(x) = 12 - 6x
• Приравниваем вторую производную к нулю: 12 - 6x = 0
• Решаем уравнение: 6x = 12, x = 2
• Проверяем знак второй производной слева и справа от x = 2:
  • При x < 2, f''(x) > 0 (функция выпукла вниз)
  • При x > 2, f''(x) < 0 (функция выпукла вверх)
• Так как знак второй производной меняется, x = 2 является точкой перегиба.
2. 2) f(x) = x + 3√x⁵ - 2
• Находим первую производную: f'(x) = 1 + (5/2) * 3 * x^(3/2) = 1 + (15/2) * x^(3/2)
• Находим вторую производную: f''(x) = (15/2) * (3/2) * x^(1/2) = (45/4) * √x
• Приравниваем вторую производную к нулю: (45/4) * √x = 0
• Решаем уравнение: √x = 0, x = 0
• Проверяем знак второй производной слева и справа от x = 0:
  • При x < 0, функция не определена
  • При x > 0, f''(x) > 0 (функция выпукла вниз)
• x=0 является точкой перегиба.

Ответ: 1) точка перегиба x=2; 2) точка перегиба x=0