6. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции $$y = \begin{cases} x^{-1}, & x < 0 \\ 5^x, & 0 \leq x \leq 1 \\ x, & x > 1 \end{cases}$$

Определим точки разрыва функции. Функция определена кусочно на различных интервалах. Нужно проверить точки стыковки этих интервалов на наличие разрывов, а также проверить каждую функцию на каждом интервале на наличие разрывов. 1. Функция $$y = x^{-1} = \frac{1}{x}$$ определена для всех $$x < 0$$. При $$x \to 0^-$$ предел равен $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$$, то есть функция непрерывна на интервале $$(-\infty, 0)$$. 2. Функция $$y = 5^x$$ определена и непрерывна для всех $$0 \leq x \leq 1$$. 3. Функция $$y = x$$ определена и непрерывна для всех $$x > 1$$. Теперь проверим точки стыковки интервалов: $$x = 0$$ и $$x = 1$$. * В точке $$x = 0$$: * Предел слева: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$$ * Предел справа: $$\lim_{x \to 0^+} 5^x = 5^0 = 1$$ Так как предел слева равен минус бесконечности, а предел справа равен 1, то в точке $$x = 0$$ функция имеет разрыв второго рода. * В точке $$x = 1$$: * Предел слева: $$\lim_{x \to 1^-} 5^x = 5^1 = 5$$ * Предел справа: $$\lim_{x \to 1^+} x = 1$$ Так как предел слева не равен пределу справа, то в точке $$x = 1$$ функция имеет разрыв первого рода. Таким образом, функция имеет точки разрыва в $$x = 0$$ и $$x = 1$$.