Найти углы ABCD, вписанного в окружность, если угол ADB равен 43, угол ACD равен 37, угол CAD равен 22.

Задание 5

Дано: Четырехугольник ABCD вписан в окружность. \( \angle ADB = 43^{\circ} \), \( \angle ACD = 37^{\circ} \), \( \angle CAD = 22^{\circ} \).

Найти: Углы \( \angle A, \angle B, \angle C, \angle D \) четырехугольника ABCD.

Решение:

Углы, опирающиеся на одну хорду, равны.

1. Углы \( \angle ABD \) и \( \angle ACD \) опираются на хорду AD. Значит, \( \angle ABD = \angle ACD = 37^{\circ} \).
2. Углы \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) опираются на хорду BC.
3. Углы \( \angle CAD \) и \( \angle CBD \) опираются на хорду CD. Значит, \( \angle CBD = \angle CAD = 22^{\circ} \).
4. Углы \( \angle ABC \) и \( \angle ADC \) опираются на дугу AC.

Теперь найдем углы четырехугольника:

1. \( \angle A = \angle BAC + \angle CAD \). Чтобы найти \( \angle BAC \), рассмотрим \( \triangle ACD \). Сумма углов в \( \triangle ACD \) равна \( 180^{\circ} \). \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC \). \( \angle BDC \) нам неизвестен, но \( \angle BDC = \angle BAC \) (опираются на хорду BC).
2. Рассмотрим \( \triangle ABD \). \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \). \( \angle BDA = 43^{\circ} \), \( \angle ABD = 37^{\circ} \). \( \angle BAD = 180^{\circ} - 43^{\circ} - 37^{\circ} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \).
3. \( \angle A = \angle BAD = 100^{\circ} \).
4. Так как четырехугольник вписан в окружность, сумма противоположных углов равна \( 180^{\circ} \).
5. \( \angle C = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
6. \( \angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 37^{\circ} + 22^{\circ} = 59^{\circ} \).
7. \( \angle D = \angle ADC = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 59^{\circ} = 121^{\circ} \).

Проверим, опирается ли \( \angle D \) на нужную дугу. \( \angle D = \angle ADB + \angle BDC \). \( \angle BDC = \angle BAC \). Найдем \( \angle BAC \). В \( \triangle ABC \) \( \angle ACB = 180 - \angle A - \angle B \) - это неверно, \( \angle ACB \) не является углом \( \triangle ABC \).

Вернемся к углам, опирающимся на хорды:

\[ \angle BAC = \angle BDC \]

\[ \angle ADB = 43^{\circ} \text{ (дано)} \]

\[ \angle ACD = 37^{\circ} \text{ (дано)} \]

\[ \angle CAD = 22^{\circ} \text{ (дано)} \]

\[ \angle ABD = \angle ACD = 37^{\circ} \text{ (опираются на AD)} \]

\[ \angle CBD = \angle CAD = 22^{\circ} \text{ (опираются на CD)} \]

Теперь найдем остальные углы:

\[ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 37^{\circ} + 22^{\circ} = 59^{\circ} \]

\[ \angle BDC = \angle ADC - \angle ADB = \angle ADC - 43^{\circ} \]

\[ \angle BAC = \angle BDC \]

\[ \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 59^{\circ} = 121^{\circ} \]

\[ \angle BDC = 121^{\circ} - 43^{\circ} = 78^{\circ} \]

\[ \angle BAC = 78^{\circ} \]

\[ \angle A = \angle BAC + \angle CAD = 78^{\circ} + 22^{\circ} = 100^{\circ} \]

\[ \angle C = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \]

Проверим \( \angle C \). \( \angle C = \angle ACB + \angle ACD \). \( \angle ACB = \angle ADB = 43^{\circ} \text{ (опираются на AB)} \).

\[ \angle C = 43^{\circ} + 37^{\circ} = 80^{\circ} \]. Верно.

Ответ: \( \angle A = 100^{\circ}, \angle B = 59^{\circ}, \angle C = 80^{\circ}, \angle D = 121^{\circ} \).