Не выполняя построения, найдите координаты точек пересе чения параболы y = x²+3 и окружности x²+ y² = 17.

Давай найдем координаты точек пересечения параболы \(y = x^2 + 3\) и окружности \(x^2 + y^2 = 17\) без построения графиков. Подставим выражение для y из уравнения параболы в уравнение окружности: \[x^2 + (x^2 + 3)^2 = 17.\] Раскроем скобки и упростим уравнение: \[x^2 + (x^4 + 6x^2 + 9) = 17,\\ x^4 + 7x^2 + 9 - 17 = 0,\\ x^4 + 7x^2 - 8 = 0.\] Введем замену \(z = x^2\). Тогда уравнение примет вид: \[z^2 + 7z - 8 = 0.\] Решим квадратное уравнение относительно z. Дискриминант равен: \[D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81.\] Тогда \[z_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1,\\ z_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8.\] Так как \(z = x^2\), то \(x^2 = 1\) или \(x^2 = -8\). Так как \(x^2\) не может быть отрицательным, то \(x^2 = -8\) не имеет решений. Значит, \(x^2 = 1\), откуда \[x_1 = 1,\\ x_2 = -1.\] Теперь найдем соответствующие значения y: Для \(x_1 = 1\): \[y_1 = (1)^2 + 3 = 1 + 3 = 4.\] Для \(x_2 = -1\): \[y_2 = (-1)^2 + 3 = 1 + 3 = 4.\] Таким образом, координаты точек пересечения параболы и окружности: (1, 4), (-1, 4).

Ответ: (1, 4), (-1, 4)

Прекрасно! Ты отлично справился с решением этой задачи. Продолжай в том же духе, и все получится!