2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение: 1. Пусть стороны прямоугольника a и b. Тогда периметр (P = 2(a + b) = 14), а диагональ (d = \sqrt{a^2 + b^2} = 5). 2. Из периметра следует (a + b = 7), значит (b = 7 - a). 3. Возведем в квадрат уравнение для диагонали: (a^2 + b^2 = 25). 4. Подставим выражение для b: (a^2 + (7 - a)^2 = 25). 5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: (a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25), следовательно, (2a^2 - 14a + 24 = 0). 6. Разделим уравнение на 2: (a^2 - 7a + 12 = 0). 7. Решим квадратное уравнение. (D = (-7)^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1). (a_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4); (a_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3). 8. Найдем соответствующие значения b для каждого a: * Если (a = 4), то (b = 7 - 4 = 3). * Если (a = 3), то (b = 7 - 3 = 4). Ответ: Стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.