5. Некоторое натуральное число п имеет два простых делителя. Его квадрат имеет 81 делитель. Сколько делителей имеет куб этого числа?

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Ответ: 169

Краткое пояснение: Используем формулу для количества делителей числа, выраженного через простые множители.

Пусть натуральное число n имеет два простых делителя p и q. Тогда n можно представить в виде n = p^a * q^b, где a и b - натуральные числа.
Квадрат числа n равен n² = (p^a * q^b)² = p^2a * q^2b. Количество делителей n² равно (2a + 1)(2b + 1) = 81.
Нам нужно найти количество делителей куба числа n, то есть n³ = (p^a * q^b)³ = p^3a * q^3b. Количество делителей n³ равно (3a + 1)(3b + 1).

Рассмотрим возможные варианты разложения числа 81 на множители:

81 = 81 * 1, тогда 2a + 1 = 81 и 2b + 1 = 1. Отсюда 2a = 80, a = 40 и 2b = 0, b = 0. Но b должно быть натуральным числом, поэтому этот вариант не подходит.
81 = 1 * 81, тогда 2a + 1 = 1 и 2b + 1 = 81. Отсюда 2a = 0, a = 0 и 2b = 80, b = 40. Но a должно быть натуральным числом, поэтому этот вариант не подходит.
81 = 9 * 9, тогда 2a + 1 = 9 и 2b + 1 = 9. Отсюда 2a = 8, a = 4 и 2b = 8, b = 4. Этот вариант подходит.
81 = 3 * 27, тогда 2a + 1 = 3 и 2b + 1 = 27. Отсюда 2a = 2, a = 1 и 2b = 26, b = 13. Этот вариант подходит.
81 = 27 * 3, тогда 2a + 1 = 27 и 2b + 1 = 3. Отсюда 2a = 26, a = 13 и 2b = 2, b = 1. Этот вариант подходит.

Рассмотрим случай a = 4 и b = 4. Тогда количество делителей n³ равно (3a + 1)(3b + 1) = (3*4 + 1)(3*4 + 1) = (12 + 1)(12 + 1) = 13 * 13 = 169.
Рассмотрим случай a = 1 и b = 13. Тогда количество делителей n³ равно (3a + 1)(3b + 1) = (3*1 + 1)(3*13 + 1) = (3 + 1)(39 + 1) = 4 * 40 = 160.
Рассмотрим случай a = 13 и b = 1. Тогда количество делителей n³ равно (3a + 1)(3b + 1) = (3*13 + 1)(3*1 + 1) = (39 + 1)(3 + 1) = 40 * 4 = 160.
Если a = 4 и b = 4, то количество делителей куба равно (3*4 + 1)(3*4 + 1) = 13*13 = 169.

Ответ: 169

Ты — Цифровой атлет!

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке