Необходимо определить косинус угла между векторами \(\vec{a}\{-2; 1; -2\}\) и \(\vec{b}\{2; 2; 1\}\).

Для решения этой задачи, нам потребуется вспомнить формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами. Косинус угла \(\theta\) между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) вычисляется как отношение скалярного произведения этих векторов к произведению их длин: \[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\] **1. Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):** Скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) вычисляется как сумма произведений соответствующих координат векторов: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z\] Подставим значения координат векторов \(\vec{a}\{-2; 1; -2\}\) и \(\vec{b}\{2; 2; 1\}\): \[\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot 2 + 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = -4 + 2 - 2 = -4\] **2. Найдем длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):** Длина вектора \(\vec{a}\) вычисляется как: \[|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\] Подставим значения координат вектора \(\vec{a}\{-2; 1; -2\}\): \[|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3\] Аналогично, длина вектора \(\vec{b}\) вычисляется как: \[|\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}\] Подставим значения координат вектора \(\vec{b}\{2; 2; 1\}\): \[|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\] **3. Найдем косинус угла между векторами:** Теперь, когда мы нашли скалярное произведение и длины векторов, мы можем вычислить косинус угла между ними: \[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-4}{3 \cdot 3} = \frac{-4}{9}\] Таким образом, косинус угла между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(-\frac{4}{9}\). **Ответ:** \[\cos(\theta) = -\frac{4}{9}\]