Неопределенный интеграл $$\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 5}$$ равен ...

Для решения этого интеграла, нужно выделить полный квадрат в знаменателе:

$$x^2 + 4x + 5 = x^2 + 4x + 4 + 1 = (x+2)^2 + 1$$

Тогда интеграл примет вид:

$$\int \frac{dx}{(x+2)^2 + 1}$$

Теперь сделаем замену:

$$u = x+2$$

$$du = dx$$

Тогда интеграл станет:

$$\int \frac{du}{u^2 + 1}$$

Этот интеграл является табличным и равен:

$$\int \frac{du}{u^2 + 1} = \arctan(u) + C$$

Теперь вернемся к исходной переменной:

$$\arctan(x+2) + C$$

Ответ: $$\arctan(x+2) + C$$