Определим, сколько литров воды поступает в бочку за 1 минуту:
$$10 - 6 = 4$$ (л)
Определим, сколько времени потребуется, чтобы заполнить бочку объемом 170 литров:
$$170 : 4 = 42 \frac{1}{2}$$ (минут)
Выразим 2/3 часа в минутах:
$$2/3 \cdot 60 = 40$$ (минут)
Так как $$42 \frac{1}{2} > 40$$, то хозяин не успеет заполнить бочку за 2/3 часа.
Ответ: не успеет.