14. Несколько юношей соревнуются в количестве мячей, заброшенных в баскетбольную корзину. Первый юноша забросил 2 мяча, а каждый сле- дующий — в 2 раза больше мячей, чем предыдущий. Сколько юношей участвовало в соревнованиях, если в корзину было заброшено 254 мяча?

Пусть n - количество юношей, участвовавших в соревнованиях.

Количество мячей, заброшенных каждым юношей, образует геометрическую прогрессию, где первый член b₁ = 2, а знаменатель q = 2.

Сумма n членов геометрической прогрессии находится по формуле:

$$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$

В нашем случае Sₙ = 254, b₁ = 2, q = 2.

1. Подставим известные значения в формулу: $$254 = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1}$$
2. Упростим уравнение: $$254 = 2(2^n - 1)$$ $$127 = 2^n - 1$$ $$2^n = 128$$
3. Решим уравнение относительно n: $$2^n = 2^7$$ n = 7

Следовательно, в соревнованиях участвовало 7 юношей.

Ответ: 7