Несобственный интеграл $$\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{dx}{x \ln x}$$ равен:

Давайте решим этот несобственный интеграл. Интеграл имеет особенность в точке x = 1, так как при этом ln(x) = 0. Поэтому мы должны разбить интеграл на два интеграла: $$\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{dx}{x \ln x} = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{dx}{x \ln x} + \int_{1}^{2} \frac{dx}{x \ln x}$$ Рассмотрим интеграл: $$\int \frac{dx}{x \ln x}$$ Пусть $$u = \ln x$$, тогда $$du = \frac{dx}{x}$$. Тогда интеграл можно переписать как: $$\int \frac{du}{u} = \ln |u| + C = \ln |\ln x| + C$$ Теперь рассмотрим первый интеграл: $$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{dx}{x \ln x} = \lim_{t \to 1^{-}} \int_{\frac{1}{2}}^{t} \frac{dx}{x \ln x} = \lim_{t \to 1^{-}} [\ln |\ln x|]_{\frac{1}{2}}^{t} = \lim_{t \to 1^{-}} (\ln |\ln t| - \ln |\ln (\frac{1}{2})|)$$ $$\lim_{t \to 1^{-}} \ln |\ln t| = -\infty$$ Поскольку первый интеграл расходится, то и весь интеграл расходится. Ответ: расходится