Незнайка загадал 26 целых чисел, произведение которых равно 1. Знайка понимает, что сумма чисел Незнайки может принимать одно из нескольких значений. Сколько таких значений?

Question

Вопрос:

Незнайка загадал 26 целых чисел, произведение которых равно 1. Знайка понимает, что сумма чисел Незнайки может принимать одно из нескольких значений. Сколько таких значений?

Ответ:

Accepted Answer

Для того чтобы произведение 26 целых чисел равнялось 1, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

Все числа, кроме, возможно, одного, должны быть равны 1 или -1.
Чётное количество чисел должно быть равно -1, так как произведение чётного количества отрицательных чисел положительно.

Рассмотрим возможные случаи:

Случай 1: Все числа равны 1. Тогда сумма равна 26.
Случай 2: 24 числа равны 1, а два числа равны -1. Тогда сумма равна $$24 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 24 - 2 = 22$$.
Случай 3: 22 числа равны 1, а четыре числа равны -1. Тогда сумма равна $$22 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) = 22 - 4 = 18$$.

Заметим закономерность: каждое увеличение количества чисел, равных -1 на 2, уменьшает сумму на 4. Продолжая эту логику, мы можем найти все возможные значения суммы:

Максимальное количество чисел, равных -1, может быть 26 (чётное число).

Если 26 чисел равны -1, то сумма равна $$26 \cdot (-1) = -26$$.

Таким образом, возможные значения суммы: 26, 22, 18, ..., -22, -26.

Чтобы найти, сколько всего таких значений, можно использовать следующую формулу для арифметической прогрессии:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$,

где $$a_1 = 26$$, $$d = -4$$, а $$a_n = -26$$.

Подставим значения и найдем n:

$$-26 = 26 + (n-1)(-4)$$ $$-26 - 26 = -4(n-1)$$ $$-52 = -4(n-1)$$ $$13 = n-1$$ $$n = 14$$

Таким образом, сумма может принимать 14 различных значений.

Ответ: 14

Ответ:

Похожие