[номер задания обрезан]. Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB ≠ BC, проведены перпендикуляры BK и DN к прямой AC. Докажите, что четырёхугольник BKDN — параллелограмм.

Так как BK ⟂ AC и DN ⟂ AC, то две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны:

\(BK \parallel DN\).

Рассмотрим диагональ \(AC\). В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Поэтому точки \(B\) и \(D\) симметричны относительно середины диагонали \(AC\). При ортогональном проектировании на прямую \(AC\) симметричные точки переходят в симметричные точки, значит, отрезок \(KN\) параллелен отрезку \(BD\):

\(KN \parallel BD\).

В четырёхугольнике \(BKDN\) противоположные стороны попарно параллельны: \(BK \parallel DN\) и \(KN \parallel BD\). Следовательно, \(BKDN\) — параллелограмм.

Ответ: \(BKDN\) — параллелограмм.