4. Нулями функции у = 4x2 – 5x + 1 являются числа 1/4 и 1. Решите квадратное неравенство 4x2 – 5x + 1 ≥ 0.

Решение:

• Запишем квадратное неравенство: \[4x^2 - 5x + 1 \ge 0\]
• Находим нули функции, которые уже даны: \[x_1 = \frac{1}{4}, \quad x_2 = 1\]
• Отметим нули на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале.
• Интервалы: \((-\infty; \frac{1}{4}], [\frac{1}{4}; 1], [1; +\infty)\)
• Определим знаки: на интервале \((-\infty; \frac{1}{4})\) выбираем x = 0, подставляем в неравенство: \[4(0)^2 - 5(0) + 1 = 1 > 0\] (знак «+»)
• На интервале \((\frac{1}{4}; 1)\) выбираем x = 0.5, подставляем в неравенство: \[4(0.5)^2 - 5(0.5) + 1 = 1 - 2.5 + 1 = -0.5 < 0\] (знак «-»)
• На интервале \((1; +\infty)\) выбираем x = 2, подставляем в неравенство: \[4(2)^2 - 5(2) + 1 = 16 - 10 + 1 = 7 > 0\] (знак «+»)
• Так как неравенство \[4x^2 - 5x + 1 \ge 0\], выбираем интервалы со знаком «+» и включаем нули функции.

Ответ: \((-\infty; \frac{1}{4}] \cup [1; +\infty)\)