Решение задачи №42

Дано: О - центр окружности, AO = AK.

Найти: ∠ABK.

1. Так как AO = AK, треугольник AOK - равнобедренный. Значит, углы при основании равны: ∠AOK = ∠AKO.
2. Пусть ∠OAK = x. Тогда ∠AOK = ∠AKO = (180° - x) / 2 = 90° - x/2.
3. Угол AOK - центральный угол, опирающийся на дугу AK. Угол ABK - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AK. Следовательно, угол ABK равен половине угла AOK.
4. ∠ABK = 1/2 * ∠AOK = 1/2 * (90° - x/2) = 45° - x/4.
5. Так как AO - радиус окружности, то AO = OK. Из условия AO = AK, следует, что AO = OK = AK. Значит, треугольник AOK - равносторонний.
6. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, поэтому ∠OAK = 60°.
7. Теперь найдем угол ABK: ∠ABK = 45° - x/4 = 45° - 60°/4 = 45° - 15° = 30°.

Ответ: 30°