Объясните выбор выделенных букв.

В слове «солдатские» пишется строчная буква: это относительное прилагательное, образованное от нарицательного существительного «солдат».

В слове «Минскому» пишется прописная буква, потому что оно образовано от собственного географического названия «Минск».