Объем тела, образованного вращения вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной параболой $$y = 1 - x^2$$ и осью ОХ, равен

Для нахождения объема тела вращения, образованного вращением графика функции $$y = f(x)$$ вокруг оси Ox на отрезке $$[a, b]$$, используется формула: $$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$$ В нашем случае, $$f(x) = 1 - x^2$$. Нам нужно найти пределы интегрирования, то есть точки пересечения параболы с осью Ox. Для этого приравняем функцию к нулю: $$1 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 1$$ $$x = \pm 1$$ Таким образом, пределы интегрирования: $$a = -1$$ и $$b = 1$$. Теперь найдем объем тела вращения: $$V = \pi \int_{-1}^1 (1 - x^2)^2 dx = \pi \int_{-1}^1 (1 - 2x^2 + x^4) dx$$ $$V = \pi \left[x - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5\right]_{-1}^1$$ $$V = \pi \left[(1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}) - (-1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{5})\right]$$ $$V = \pi \left[1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} + 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}\right] = \pi \left[2 - \frac{4}{3} + \frac{2}{5}\right]$$ $$V = \pi \left[\frac{30 - 20 + 6}{15}\right] = \pi \left[\frac{16}{15}\right] = \frac{16\pi}{15}$$ Ответ: $$\frac{16\pi}{15}$$