Решение:

1) В ромбе все стороны равны и диагонали являются биссектрисами углов. ∠BAC = ∠DAC = 36°, следовательно ∠BAD = 2 × ∠BAC = 2 × 36° = 72°.

2) Противоположные углы ромба равны, следовательно, ∠BCD = ∠BAD = 72°.

3) Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба равна 180°. ∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - 72° = 108°.

4) Противоположные углы ромба равны, следовательно, ∠ABC = ∠ADC = 108°.

5) Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, ∠AOD = 90°.

6) Так как диагонали ромба являются биссектрисами, то ∠BCA = ∠ACD = ∠BCD / 2 = 72° / 2 = 36°.

7) Рассмотрим треугольник ABC. Он является равнобедренным, так как AB = BC. Следовательно, ∠BAC = ∠BCA = 36°. ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 36° - 36° = 108°.

8) Периметр ромба: $$P_{ABCD} = 4 cdot AB$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB, где O - точка пересечения диагоналей. Тогда $$AO = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ см. $$AB = \frac{AO}{\cos \angle BAC} = \frac{8}{\cos 36^\circ} \approx 9.88$$ см. Следовательно, $$P_{ABCD} = 4 \cdot 9.88 = 39.52$$ см.

Ответ:

• $$P_{ABCD} \approx 39.52$$ см
• $$AC = 16$$ см
• $$∠AOD = 90$$°
• $$∠DAC = 36$$°
• $$∠BCD = 72$$°
• $$∠ABC = 108$$°
• $$∠BAD = 72$$°
• $$∠ABC = 108$$°
• $$∠ACD = 36$$°