Решение задачи:

1. Найдем длину отрезка AK:

   $$AK = MA - 3 = 15 - 3 = 12 \text{ см}$$

2. Обозначим длину отрезка KN как x. Тогда длина отрезка MK равна 3x.

3. Общая длина отрезка MN равна сумме отрезков MA, AK, KN:

   $$MN = MA + AK + KN$$

4. Также длина отрезка MN равна сумме отрезков MK и KN:

   $$MN = MK + KN = 3x + x = 4x$$

5. Свяжем отрезки AK и MK:

   $$AK + KN = AN = MK$$ $$12 + x = 3x$$

6. Решим уравнение для x:

   $$2x = 12$$ $$x = 6 \text{ см}$$

   Следовательно, KN = 6 см.

7. Найдем длину отрезка MN:

   $$MN = MA + AK + KN = 15 + 12 + 6 = 33 \text{ см}$$

Ответ: Длина отрезка MN равна 33 см.