Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 6000 см³, высота пирамиды H = 20 см. Определи апофему h пирамиды.

Для решения данной задачи нам потребуется знание формулы объёма пирамиды и свойств правильной четырёхугольной пирамиды. 1. Вспомним формулу объёма пирамиды: Объём пирамиды (V) равен одной трети произведения площади основания (S) на высоту (H): \[ V = \frac{1}{3} S \cdot H \] 2. Найдём площадь основания: Известно, что объём пирамиды (V = 6000) см³, а высота (H = 20) см. Подставим эти значения в формулу объёма и выразим площадь основания (S): \[ 6000 = \frac{1}{3} S \cdot 20 \] Умножим обе стороны на 3: \[ 18000 = S \cdot 20 \] Разделим обе стороны на 20: \[ S = \frac{18000}{20} = 900 \text{ см}^2 \] 3. Найдём сторону основания: Так как пирамида правильная и четырёхугольная, её основание — квадрат. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Пусть (a) — сторона основания. Тогда: \[ a^2 = S \] \[ a^2 = 900 \] Извлечём квадратный корень из обеих сторон: \[ a = \sqrt{900} = 30 \text{ см} \] 4. Найдём апофему пирамиды: Апофема пирамиды — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), половиной стороны основания (\frac{a}{2}) и апофемой (h). По теореме Пифагора: \[ h^2 = H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \] Подставим известные значения (H = 20) см и (a = 30) см: \[ h^2 = 20^2 + \left(\frac{30}{2}\right)^2 \] \[ h^2 = 400 + 15^2 \] \[ h^2 = 400 + 225 \] \[ h^2 = 625 \] Извлечём квадратный корень из обеих сторон: \[ h = \sqrt{625} = 25 \text{ см} \] Ответ: (h = 25) см. ### Развёрнутый ответ: Чтобы решить задачу, мы использовали формулу объёма пирамиды, нашли площадь основания, затем сторону основания и, наконец, апофему, применив теорему Пифагора. Важно помнить, что в правильной четырёхугольной пирамиде основание является квадратом, и это упрощает вычисления.