Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 51. Найдите объём куба.

Пусть ребро куба равно $$a$$. Треугольная призма, отсекаемая плоскостью, представляет собой треугольную призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами $$\frac{a}{2}$$ и $$\frac{a}{2}$$, а высота равна $$a$$. Тогда объем этой призмы равен: $$V_{\text{призмы}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^3}{8}$$ По условию, объем этой призмы равен 51, то есть: $$\frac{a^3}{8} = 51$$ Отсюда находим $$a^3$$: $$a^3 = 51 \cdot 8 = 408$$ Объем куба равен $$a^3$$, следовательно, объем куба равен 408. Ответ: 408