33. (ОБЗ) Катер в 10:00 вышел по течению реки из пункта А в пункт В, расположенный в 40 км от А. Пробыв 3 часа в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Ответ: 17 км/ч

Решение:

• Катер был в пути с 10:00 до 16:00, то есть 6 часов.
• Время движения без учета стоянки составляет 6 - 3 = 3 часа.
• Пусть x км/ч - собственная скорость катера.
• Тогда скорость катера по течению равна (x + 3) км/ч, а против течения (x - 3) км/ч.
• Время движения по течению составляет \[\frac{40}{x + 3}\] часов, а против течения \[\frac{40}{x - 3}\] часов.
• Составим уравнение:\[\frac{40}{x + 3} + \frac{40}{x - 3} = 3\]
• Решим уравнение:\[\frac{40(x - 3) + 40(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = 3\]\[\frac{40x - 120 + 40x + 120}{x^2 - 9} = 3\]\[\frac{80x}{x^2 - 9} = 3\]\[80x = 3(x^2 - 9)\]\[80x = 3x^2 - 27\]\[3x^2 - 80x - 27 = 0\]
• Решим квадратное уравнение:\[D = (-80)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-27) = 6400 + 324 = 6724\]\[x = \frac{80 \pm \sqrt{6724}}{2 \cdot 3} = \frac{80 \pm 82}{6}\]\[x_1 = \frac{80 + 82}{6} = \frac{162}{6} = 27\]\[x_2 = \frac{80 - 82}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]
• Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость катера равна 27 км/ч.

Ответ: 27 км/ч