6. Один из катетов прямоугольного треугольника на 31 см меньше другого, а площадь треугольника равна 315 см2. Найдите его катеты.

Ответ: 14 см и 45 см

Пусть один катет равен x см, тогда другой катет равен (x + 31) см. Площадь треугольника равна 315 см². Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения его катетов:

\[\frac{1}{2}x(x+31) = 315\]

Умножаем обе части уравнения на 2:

\[x(x+31) = 630\]

Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

\[x^2 + 31x = 630\]\[x^2 + 31x - 630 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4(1)(-630) = 961 + 2520 = 3481\]\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 \pm \sqrt{3481}}{2(1)} = \frac{-31 \pm 59}{2}\]

Получаем два корня:

\[x_1 = \frac{-31 + 59}{2} = \frac{28}{2} = 14\]\[x_2 = \frac{-31 - 59}{2} = \frac{-90}{2} = -45\]

Так как длина катета не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

\[x = 14\]

Тогда другой катет равен:

\[x + 31 = 14 + 31 = 45\]

Ответ: 14 см и 45 см