1) Один из смежных углов составляет 2/3 другого. Найдите эти углы. 2) Сумма 2 углов, образованных при пересечении 2 прямых, равна 160°. Найдите эти углы. 3) Разность 2 углов, получившихся при пересечении 2 прямых, равна 46°. Найдите эти углы. 4) Градусные меры 2 углов, получившихся при пересечении 2 прямых, относятся как 1:3. Найдите эти углы. 5) Сумма 3 углов, образованных при пересечении 2 прямых, равна 280°. Найдите эти углы. 6) Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны. 7) В ΔABC высота BD делит ∠B на ∠, равные 30° и 40°. Найдите ∠ABC.

Решения: 1) Пусть один угол равен $$x$$, тогда другой равен $$\frac{2}{3}x$$. Сумма смежных углов равна 180°. Составим уравнение: $$x + \frac{2}{3}x = 180$$ $$\frac{5}{3}x = 180$$ $$x = 180 : \frac{5}{3}$$ $$x = 180 \cdot \frac{3}{5}$$ $$x = 108$$ Тогда другой угол равен $$\frac{2}{3} \cdot 108 = 72$$. Ответ: 108° и 72° 2) Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 160°. Такими углами могут быть только два вертикальных угла (т.к. сумма смежных углов равна 180°). Вертикальные углы равны. Значит, каждый из этих углов равен $$160:2 = 80$$. Ответ: 80° 3) Разность двух углов, получившихся при пересечении двух прямых, равна 46°. Здесь также речь идет о вертикальных углах, потому что смежные в сумме дают 180°. Но разность вертикальных углов равна 0, т.к. они всегда равны. Значит, нужно понимать задачу так: разность смежных углов равна 46°. Пусть один угол $$x$$, тогда другой $$x + 46$$. Сумма смежных углов равна 180°: $$x + (x + 46) = 180$$ $$2x + 46 = 180$$ $$2x = 134$$ $$x = 67$$ Тогда другой угол $$67 + 46 = 113$$. Ответ: 67° и 113° 4) Градусные меры двух углов, получившихся при пересечении двух прямых, относятся как 1:3. Найдите эти углы. Рассмотрим два случая: а) Пусть эти углы - вертикальные. Тогда они равны. Но по условию, они относятся как 1:3, значит, такое невозможно. б) Пусть эти углы - смежные. Тогда пусть один угол равен $$x$$, а другой $$3x$$. В сумме они дают 180°: $$x + 3x = 180$$ $$4x = 180$$ $$x = 45$$ - один угол $$3x = 3 \cdot 45 = 135$$ - другой угол Ответ: 45° и 135° 5) Сумма трех углов, образованных при пересечении 2 прямых, равна 280°. Найдите эти углы. При пересечении двух прямых образуются 4 угла. Сумма всех этих углов равна 360°. Тогда четвертый угол равен $$360 - 280 = 80$$°. Ему вертикальный угол тоже равен 80°. Тогда два оставшихся смежных угла равны $$180 - 80 = 100$$° каждый. Ответ: 80°, 80°, 100° 6) Нужно доказать, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Пусть даны смежные углы ∠AOB и ∠BOC. Тогда ∠AOB + ∠BOC = 180°. Проведем биссектрисы OD и OE этих углов. Тогда ∠DOB = 1/2 ∠AOB, а ∠BOE = 1/2 ∠BOC. Рассмотрим ∠DOE = ∠DOB + ∠BOE = 1/2 ∠AOB + 1/2 ∠BOC = 1/2 (∠AOB + ∠BOC) = 1/2 * 180° = 90°. Значит, биссектрисы OD и OE перпендикулярны, что и требовалось доказать. 7) В ΔABC высота BD делит ∠B на углы, равные 30° и 40°. Найдите ∠ABC. ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 30° + 40° = 70°. Ответ: 70°