Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 120°. Найдите большую и меньшую стороны треугольника, если их сумма равна 18 см.

Так как один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 120°, то смежный с ним внутренний угол равен (180° - 120° = 60°). Поскольку треугольник прямоугольный, то один из его углов равен 90°. Следовательно, третий угол треугольника равен (180° - 90° - 60° = 30°).

Таким образом, треугольник имеет углы 30°, 60° и 90°. Пусть (a) - меньшая сторона (катет, лежащий против угла 30°), а (b) - большая сторона (катет, лежащий против угла 60°). Гипотенуза - (c).

Нам дано, что (a + b = 18). Также мы знаем, что в прямоугольном треугольнике с углом 30°, катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы. То есть, ( a = \frac{1}{2}c).

Катет, лежащий против угла 60°, равен произведению другого катета на \(\sqrt{3}\), т.е. (b = a\sqrt{3}\).

Подставим (b = a\sqrt{3}\) в уравнение (a + b = 18):

$$a + a\sqrt{3} = 18$$ $$a(1 + \sqrt{3}) = 18$$ $$a = \frac{18}{1 + \sqrt{3}}$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (1 - \sqrt{3}\):

$$a = \frac{18(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{18(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{18(1 - \sqrt{3})}{-2} = -9(1 - \sqrt{3}) = 9(\sqrt{3} - 1)$$

Теперь найдем значение (b):

$$b = 18 - a = 18 - 9(\sqrt{3} - 1) = 18 - 9\sqrt{3} + 9 = 27 - 9\sqrt{3} = 9(3 - \sqrt{3})$$

Итак, меньшая сторона (a = 9(\sqrt{3} - 1)) см, а большая сторона (b = 9(3 - \sqrt{3})) см.

Приближенные значения:

$$a \approx 9(1.732 - 1) = 9(0.732) \approx 6.588$$ $$b \approx 9(3 - 1.732) = 9(1.268) \approx 11.412$$ Ответ: Меньшая сторона: (9(\sqrt{3} - 1)) см, Большая сторона: (9(3 - \sqrt{3})) см.