1 Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит дру- гую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей де- лит данную диагональ.

Пусть дана трапеция ABCD, диагонали которой пересекаются в точке O. AC = 28 см, BO = 5 см, OD = 9 см. Необходимо найти AO и OC.

Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (∠BOC = ∠AOD как вертикальные, ∠OBC = ∠ODA как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей BD). Из подобия следует:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{OC}{OA}$$ $$\frac{5}{9} = \frac{OC}{OA}$$ $$OA = \frac{9}{5}OC$$

Также известно, что AC = AO + OC = 28 см.

Тогда: $$\frac{9}{5}OC + OC = 28$$ $$\frac{14}{5}OC = 28$$ $$OC = \frac{28 \cdot 5}{14} = 10 \text{ см}$$

$$AO = 28 - 10 = 18 \text{ см}$$

Ответ: отрезки равны 18 см и 10 см.