Решение

Пусть дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, где ABCD - квадрат. Диагональ параллелепипеда - это, например, AC1. Угол между AC1 и плоскостью ABCD равен углу между AC1 и AC, то есть ∠C1AC = 45°.

Диагональ параллелепипеда AC1 = √8.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC1. В нем ∠C1AC = 45°, значит, треугольник ACC1 равнобедренный, и AC = CC1.

По теореме Пифагора, AC² + CC1² = AC1².

Так как AC = CC1, то 2AC² = (√8)², откуда AC² = 4, и AC = 2.

Так как ABCD - квадрат, то AC = a√2, где a - сторона квадрата. Значит, a√2 = 2, и a = 2/√2 = √2.

Таким образом, сторона основания параллелепипеда равна √2, а высота параллелепипеда CC1 = AC = 2.

Объем параллелепипеда равен V = Sосн * h = (√2)² * 2 = 2 * 2 = 4.

Ответ: 4