Одна из сторон треугольника в 7 раз меньше второй и на 6 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 174 см.

Пусть первая сторона равна \(x\) см. Тогда вторая сторона равна \(7x\) см, а третья — \(x+6\) см.

По условию периметра:

\[x+7x+(x+6)=174,\]

\[9x=168,\quad x=\frac{56}{3}\text{ см}.\]

Тогда стороны равны:

\[\frac{56}{3}\text{ см},\quad \frac{392}{3}\text{ см},\quad \frac{74}{3}\text{ см}.\]

Однако сумма двух меньших сторон \(\frac{56}{3}+\frac{74}{3}=\frac{130}{3}\) меньше третьей стороны \(\frac{392}{3}\), поэтому не выполняется неравенство треугольника.

Ответ: треугольника с такими условиями не существует.