16.5. Одна сторона треугольника в два раза больше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите меньший из углов треугольника.

Давайте решим эту задачу. Пусть одна сторона треугольника равна $$a$$, тогда другая сторона равна $$2a$$. Угол между ними равен 60°. Обозначим третью сторону как $$c$$, а углы, противолежащие сторонам $$a$$ и $$2a$$, как $$\alpha$$ и $$\beta$$ соответственно. 1. **Используем теорему косинусов для нахождения стороны $$c$$**: $$c^2 = a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot (2a) \cdot \cos{60°}$$ $$c^2 = a^2 + 4a^2 - 4a^2 \cdot (1/2)$$ $$c^2 = 5a^2 - 2a^2$$ $$c^2 = 3a^2$$ $$c = a\sqrt{3}$$ 2. **Теперь найдем угол $$\alpha$$ (угол, противолежащий стороне $$a$$)**: Используем теорему синусов: $$\frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{2a}{\sin{\beta}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sin{60°}}$$ $$\frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sin{60°}}$$ $$\sin{\alpha} = \frac{a \cdot \sin{60°}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sin{60°}}{\sqrt{3}}$$ $$\sin{\alpha} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$$ $$\alpha = \arcsin{\frac{1}{2}} = 30°$$ 3. **Найдем угол $$\beta$$ (угол, противолежащий стороне $$2a$$)**: Используем теорему синусов: $$\frac{2a}{\sin{\beta}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sin{60°}}$$ $$\sin{\beta} = \frac{2a \cdot \sin{60°}}{a\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sin{60°}}{\sqrt{3}}$$ $$\sin{\beta} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = 1$$ $$\beta = \arcsin{1} = 90°$$ 4. **Найдем третий угол (60°)**. Итак, углы треугольника: 30°, 90° и 60°. Меньший угол треугольника равен 30°. **Ответ:** Меньший угол треугольника равен 30 градусам.